第31讲：《对坐标的曲面积分基本概念与计算方法》内容小结、课件与典型例题与练习

一、对坐标的曲面积分的物理意义

当流速场为 时，则穿过指定方向了的曲面 的流量可以表示为

其中  为曲面上的与曲面指定方向同向的单位法向量，

如果记单位法向量为

则有

【注】 其中 , , 分别为有向曲面片 在三个坐标面上的投影，因此它们是可正可负的，正负号由相应的方向余弦符号确定！

二、对坐标的曲面积分的直接计算法

直接对坐标的曲面积分进行计算，必须分成三个曲面积分分别进行计算，即

对每个曲面积分直接进行计算，必须要求积分曲面分别为简单的 型，简单的 型和简单的 型分别计算。

在积分曲面为简单类型的情况下，则只要直接将积分曲面的二元函数表达式，即

直接代入被积函数，就可以得到积分曲面分别在 面上的投影区域 ， 面上的投影区域 和 面上的投影区域 上的二重积分，即有

其中正负号的确定由曲面的法向量的方向来确定。对于第一个积分，当曲面的法向量取为向前的时候，即 的时候，取正，否则向后为负；类似另外两个的正负号确定分别为右正左负，上正下负。

具体步骤可以概括为：

第一步：被积函数定义在积分曲面上。考虑将描述积分曲面的变量关系式（方程）代入被积函数变换、化简被积函数。

第二步：在直角坐标系中绘制积分曲面图形，或者直接借助描述积分曲面的方程，讨论积分区域图形的对称性和被积函数的奇偶性，包括图形的“轮换对称性”；从而在满足对称性、奇偶性和轮换对称性的条件下，借助“偶零奇倍”和轮换被积表达式变量转换、化简积分。注意“偶零奇倍”关于坐标面对称不仅要求图形对换，还要求方向对称，即关于坐标面镜像的话，要求图形和方向都能重叠！

第三步：将积分转换为简单积分曲面上的积分；然后利用上面给出的直接计算公式将简单曲面上的对坐标的曲面积分转换为二重积分。具体可以概括为：

一投：将曲面片投影到对应的积分变量对应的坐标面上，得到投影区域。

二代：将被积函数中的函数变量用自变量的函数表达式代换，将积分曲面替换为投影区域。

三定号：根据曲面给出的方向，依据坐标积分变量的不同，根据上正下负、前正后负、右正左负的原则确定二重积分的符号。

第四步：计算二重积分。

三、两类曲面积分之间的关系

对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分有如下转换关系：

其中 为曲面在 处的与曲面方向同向的法向量与三个坐标轴 轴的夹角。

借助于以上计算公式不仅可以实现两类曲面积分之间的转换，也可以实现对不同坐标的曲面积分之间的转换；它们将对坐标的曲面积分的方向体现在三个方向角的方向余弦的正负之中。即有

以上表达式就相当于对面积的曲面积分中分别提出相应的方向余弦后得到的表达式。后面三个积分表达式公式在曲面仅仅为简单的 型、行，或 型曲面时相对来说比较实用，避免了直接计算对坐标的曲面积分时，需要分别考虑(计算时可能需要分割曲面)其他类型的简单曲面上的对坐标的曲面积分步骤，而仅仅只需要考虑一种类型的曲面上的对坐标的曲面积分的计算。同时要特别注意，以上转换要求作为分母的法向量方向余弦分量不能为零，其中 为与曲面方向同向的法向量的方向余弦。

【注】 当对坐标的曲面积分的被积函数中包含有抽象函数，或者积分曲面为抽象曲面，尤其包含有曲面面积时，应该考虑利用两类曲面积分之间的关系，将对坐标的曲面积分转换为对面积的曲面积分来探索可能的问题求解思路。

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参考课件

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